共振回路：共振周波数の計算方法、Q値の求め方を解説

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• 1 共振周波数とは
• 2 共振回路での共振周波数
• 3 直列共振回路とは
• 4 並列共振回路とは
• 5 共振回路のQ値
• 6 共振回路の使用例
• 7 共振をおさえるダンピング抵抗とフェライトビーズ
• 8 共振回路への理解を深め、電子回路の設計に活用しよう

共振回路とは、インダクタ（\(L\)）とキャパシタ（\(C\)）を使用し、特定の周波数で共振を引き起こす電気回路を指します。直列共振回路と並列共振回路の二種類があり、共振時にインピーダンスが直列共振回路では最小になり、並列共振回路では最大になります。これらの特性は、無線通信やフィルター設計、信号処理など様々な電子機器の基礎として広く応用されています。

このページでは、さらに共振周波数の計算方法とQ値（Quality Factor）について詳しく解説しています。共振周波数の正確な計算は共振回路の設計と最適化に不可欠であり、Q値は回路の選択性とエネルギーの損失を評価する重要な指標です。これらの概念を理解することで、共振回路の性能を最大限に活用し、より効率的で精密な電子回路の設計が可能となります。

共振周波数とは

共振周波数とは、物体やシステムが自然に持つ振動する固有の周波数です。この周波数で外部からエネルギーを供給されると、共振という現象が生じ、システムの振動が増幅されます。この現象を深く理解するには、固有振動の概念が重要です。固有振動とは、外部からの衝撃によって物体がその固有の振動数で自然に振動することを言います。この振動数は、物体の形状、質量、弾性によって決まり、外部からの衝撃の大小にかかわらず、物体はこの振動数でのみ振動します。例えば、異なる打楽器が、独自の音色を生み出すのは、それぞれ独自の振動数で振動するためです。

共振周波数で共振が起きると、システムは外部からのエネルギーを非常に効率的に吸収し蓄えます。例として、ブランコを漕ぐ行為は、少ない力でブランコの振幅を大きくできる共振の一例です。これは、ブランコの固有振動数に合わせて外部からエネルギーを供給し、振動を増幅させることにより成立します。

電気回路においては、抵抗、インダクタ（\(L\)）、コンデンサ（\(C\)）が組み合わさることで共振周波数が定まり、回路がこの周波数で動作する際には、電磁エネルギーがインダクタとコンデンサ間で効率良く移動し、回路全体でのエネルギーの蓄積が最大になります。この原理は無線通信、フィルタリング、センサー技術など様々な分野で活用されています。共振周波数を正確に理解し制御することで、これらのシステムの性能を最大化し、高い効率と精度を達成することができます。

固有振動と共振

共振回路を理解するにあたって、まずは事象としての「固有振動」や「共振」を理解しておく必要があります。

「固有振動」とは、物体に衝撃を与えた際、その物体が、物体ごとに固有する振動数で振動する事象のことを指します。
固有する振動数で振動する、とはどういうことかというと、例えば木琴（楽器）のそれぞれの鍵を叩いたときや、水が入ったグラスのふちを叩くと音が鳴りますが、この行動を誰が行っても、必ず同じ高さの音が出ます。
同じ高さになる理由は、木琴のそれぞれの鍵の材質や大きさ、グラスの材質や厚さ、入っている液体の水位などの条件によって、それぞれ衝撃を与えた際の振動数が決まっている（固有振動数が決まっている）からとなります。

そして、ひとつの物体に固有振動を与え続けた場合には、与えられる振動と同期して振動が更に大きく増幅していきます。この事象を「共振」と呼んでいます。
例えば、揺れるブランコへ力を与え続け、こぎ続けていると、ブランコの動きが徐々に大きくなるのも、「共振」が起こっているからです。

共振回路での共振周波数

共振回路での共振周波数は、電子回路が共振する特定の周波数を指し、この周波数では回路のインピーダンスが最小または最大になります。共振回路は直列でも並列でも設計されることがあり、どちらの配置でも共振周波数の計算に用いる公式は同一です。

共振周波数と角共振周波数

共振周波数は以下の式で表されます：

\(f_0 = \displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \, \text{[Hz]}\)

また、共振角周波数（\(ω_0\)）は次のようになります。

\(\omega_0 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

リアクタンスから共振周波数を証明する

共振回路の理解には、まず共振周波数と角共振周波数について理解しておくことが重要です。共振周波数（\(f_0\)）は、回路が最も効率よくエネルギーを伝達する周波数で、この周波数で電圧や電流が最大になります。角共振周波数（\(ω_0\)）は、共振周波数をラジアン毎秒（rad/s）で表したもので、計算や分析に使われます。

これらの基本的な概念を理解することで、共振回路がどのように動作するのか、どのような特性を持つのかをより深く知ることができます。共振回路の設計や応用において、これらの周波数の知識は非常に役立つためここで解説します。

共振が発生するかどうかにはリアクタンスが関係しています。容量性リアクタンス\(X_C\)及び誘導性リアクタンス\(X_L\)はそれぞれ以下で定義されます。

\(X_C = \displaystyle \frac{1}{2\pi f C}\)

\(X_L = 2\pi f L\)

この数式は周波数が変化するとそれぞれのリアクタンスが変化することを示しています。

共振が発生する条件は、インダクタンスとキャパシタンスのリアクタンスが等しくなる時です。

\(X_L = X_C\)

これをインダクタンスとキャパシタンスの式に代入すると、

\(2\pi f L = \displaystyle \frac{1}{2\pi f C}\)

この式を周波数(\(f\))に関して解くと、共振周波数（\(f_0\)）が求められます。

\(f_0^2 = \displaystyle \frac{1}{4\pi^2 LC}\)

\(f_0 = \displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\)

また、共振角周波数（\(ω_0\)）は次のようになります。

\(\omega_0 = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

共振回路は、通信、放送、アナログ電子機器などのさまざまな領域で使用されており、その特性によって特定の周波数の信号を強調することが可能となります。

直列共振回路とは

直列共振回路は、インダクタとコンデンサを直列に接続し、共振周波数でインピーダンスを最小化する回路です。この回路はフィルターとして機能し、特定の周波数のみを選択的に通過させます。ラジオ受信機やオーディオ機器など、特定の信号を強調するデバイスに広く使用されています。

直列共振回路の共振周波数は、インダクタンスとキャパシタンスの値によって決まり、精密な周波数制御が可能です。直列共振回路の設計により、高性能な電子機器の動作が実現します。

RLC直列共振回路のインピーダンス

抵抗(\(R\))、インダクタ（\(L\)）、コンデンサ（\(C\)）を直列に接続した回路で共振が発生します。共振は、コンデンサとインダクタのリアクタンスが等しくなる周波数で起こります。これをRLC直列共振回路と呼びます。

RLC直列回路においては、インピーダンス(\(Z\))が次のようになります。

\(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\)

また、共振が発生する条件は、インダクタンスとキャパシタンスのリアクタンスが等しくなる時です。

つまり、共振状態のRLC直列回路においては、インピーダンス(\(Z\))が次のようになります。

\(|Z| = \sqrt{R^2 + 0^2} = R\)

複素インピーダンスから見てもコンデンサとインダクタのリアクタンスが等しくなるときにインピーダンスは抵抗成分のみになることが分かります。

\(Z = R + j(X_L – X_C)\)

\(Z = R + j(\omega_0 L – \displaystyle \frac{1}{\omega_0 C}) = R + j\left(\displaystyle \frac{L}{\sqrt{LC}} – \displaystyle \frac{\sqrt{LC}}{C}\right) = R + j\left(\displaystyle \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} – \displaystyle \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}}\right) = R\)

インダクタLとコンデンサCのリアクタンスは共振周波数で互いに打ち消し合うため、見かけ上は抵抗(\(R\)) だけの状態となります。

これにより、インピーダンスが最小となり、回路内の電流は最大になります。

\(I = \displaystyle \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}} = \displaystyle \frac{V}{\sqrt{R^2 + 0}} = \displaystyle \frac{V}{R}\)

直列共振回路の応用

直列共振回路は、電気および電子回路で非常に重要な役割を果たします。AC電源フィルターやノイズフィルター、ラジオやテレビの同調回路など、さまざまな電気製品に組み込まれ、特定の周波数チャネルを受信するための選択的な同調回路を生成します。これにより、さまざまな周波数の信号を正確に選択・受信することが可能になります。

並列共振回路とは

並列共振回路は、インダクタンスとキャパシタンスが並列に接続された回路であり、特定の周波数で共振現象を起こすことが特徴です。この回路は、無線通信やフィルター回路など、特定の周波数を選択・強調する必要がある多くの電子機器に使用されています。共振周波数において、インダクタとキャパシタのリアクタンスが相互にキャンセルされ、回路全体のインピーダンスが最大となり、特定の信号が強調されます。

RLC並列共振回路のインピーダンス

RLC並列共振回路は、抵抗(\(R\))、インダクタ（\(L\)）、およびコンデンサ（\(C\)）を並列に接続した回路です。この回路がインピーダンスの公式は下記になります。

\(\displaystyle \frac{1}{Z} = \displaystyle \frac{1}{R} + \displaystyle \frac{1}{j \omega L} + j \omega C = \displaystyle \frac{1}{R} + \displaystyle \frac{-j}{\omega L} + j \omega C = \displaystyle \frac{1}{R} + j(\omega C – \displaystyle \frac{1}{\omega L})\)

RLC並列共振回路が共振しているときもRLC直列共振回路が共振しているときと同様に、インダクタ（\(L\)）のリアクタンスと、コンデンサCのリアクタンスが互いに打ち消し合っている状態となっています。

\(\displaystyle \frac{1}{Z} = +j\left(\displaystyle \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{L}} – \displaystyle \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{L}}\right) = \displaystyle \frac{1}{R}\)

RLC並列回路においても共振状態の場合は、インピーダンス(\(Z\))は抵抗成分のみになることが分かります。

\(Z = R \)

RLC並列回路においても共振状態の場合は、この際、RLC直列回路とは異なり、インピーダンスが最大（無限大）、電流は最小（電流が流れず回路が切断されているのと同じ状態）となります。

RLC直列共振回路と並列共振回路の違い

RLC直列共振回路とRLC並列共振回路では、インピーダンスと電流の関係が異なります。RLC直列共振回路を流れる電流は電圧をインピーダンスで割った積であるため、共振時にインピーダンスは最小値(\(=R\))となり、回路電流は最大になります。

一方、RLC並列共振回路においては、共振時にアドミタンスの虚数部がゼロになり、インピーダンスが最大(\(=∞\))になります。インピーダンスが最大になると、回路電流が制限されることになりますので、回路が切断されているのと同じ状態です。

RLC直列共振回路とRLC並列共振回路では、共振周波数の求め方や共振時にZ = Rとなる点など多くが共通していますが、RLC直列共振回路は共振時にインピーダンスが最小・電流が最大になり、RLC並列共振回路は共振時にインピーダンスが最大（無限大）・電流が最小（電流が流れず回路が切断されているのと同じ状態）になるという点をおさえておきましょう。

共振回路のQ値

「Q値（Quality Factor）」は、共振周波数における信号の鋭さや選択性を定量化する重要な指標で、Q値が高ければ信号特性は鋭く、Q値が低ければその特性は緩やかになります。この値は、回路がエネルギーを効率良く蓄積し、損失を最小化する能力を反映しており、電子フィルター、振動子、アンテナ設計の精度を大きく左右します。

高Q値回路は、狭帯域の信号をより精密に捉えることが可能であり、先進の通信技術や精密なセンサー設計に不可欠です。適切なQ値の選定と調整は、高性能電子機器の設計におけるクリティカルな要素として機能します。

また、Q値と反比例の関係にあるバンド幅は共振回路が効率的に通過させることができる周波数範囲を示します。

\(Q = \displaystyle \frac{\text{共振周波数においての信号の強さ}}{\text{バンド幅 BW}}\)

\(Q = \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_2 – \omega_1} = \displaystyle \frac{f_0}{f_2 – f_1}\)

RLC直列共振回路におけるQ値の求め方

RLC直列共振回路におけるQ値の求め方は、回路が共振状態にある際の電流の挙動とインダクタ（\(L\)）とコンデンサ（\(C\)）の相互作用に焦点を当てて理解されます。共振時、電流Iは一定であり、インダクタとコンデンサはエネルギーを交換し合っているため、これらの要素によるリアクタンスは相殺されます。

この状態において、Q値はインダクタのリアクタンスに対する抵抗器(\(R\))の抵抗値の比率として定義され、回路の選択性と共振の鋭さを表す指標となります。

\(Q = \displaystyle \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \displaystyle \frac{\omega_0}{\omega_2 – \omega_1} = \displaystyle \frac{1}{R} \sqrt{\displaystyle \frac{L}{C}} = \displaystyle \frac{\omega_0 L}{R}\)

例えば下図は、RLC直列共振回路においての、流れる電流の大きさ“I”の周波数特性を示す図です。インダクタ（\(L\)）とコンデンサ（\(C\)）が共振する周波数(角周波数)において、インピーダンスが最小になります。

さらに、Q値は共振回路内での電圧の増幅率を示す係数としても機能し、インダクタを通る電圧が抵抗成分によってどれだけ増幅されるか、つまり電源電圧に対する電圧の倍率を示します。

また、角周波数を横軸とした際に電流の大きさが最大値となることがお分かりいただけるでしょうか。

RLC直列共振回路においては、Q値で帯域幅が変わり、RLC並列共振回路においては、帯域幅は固定となります。

RLC並列共振回路におけるQ値の求め方

RLC並列共振回路におけるQ値の求め方は、共振現象とその時の電流と電圧の関係に深く根ざしています。共振が発生すると、回路全体の電圧Vは一定に保たれ、インダクタ（\(L\)）とコンデンサ（\(C\)）間でエネルギーが循環し、これらの要素のリアクタンスが互いに打ち消し合います。この状態では、インダクタとコンデンサを通る循環電流が相互に等しく、逆相であるため、これらの部品による配線間の消費電力はゼロになります。
Q値の決定において重要なのは、インダクタに流れる循環電流と、抵抗(\(R\))に流れる実効電流の比率です。この比率は、回路の選択性とエネルギー損失の少なさを定量化し、Q値が高いほど回路は狭い帯域幅の信号に対して高い選択性を持ち、エネルギー損失が少ないことを意味します。共振時の電圧が一定という特性は、並列共振回路がエネルギーを効率的に蓄え、共振周波数近傍の信号を高い精度で処理する能力を持つことを示しています。

\(Q = \displaystyle \frac{I_C}{I_R} = \displaystyle \frac{I_L}{I_R}\)

\(Q = \displaystyle \frac{V}{\omega L} \div \displaystyle \frac{V}{R} = \displaystyle \frac{R}{\omega L} = \displaystyle \frac{R}{2\pi f L}\)

\(Q = \omega C ÷ \displaystyle \frac{V}{R} = \omega CR = 2\pi f CR\)

RLC並列回路の特性の１つは、共振時にインピーダンスが非常に大きくなり、結果として回路を流れる電流が制限される点です。これは、インダクタとコンデンサが共振状態においてエネルギーを交換し、それぞれが逆相の電流を生成するため、外部から見ると高インピーダンスとして振る舞うためです。この現象は、回路が共振周波数でのみ信号を効率的に通過させることを可能にし、それ以外の周波数に対してはブロックするフィルターとしての役割を果たします。

また、RLC直列回路と比較した場合、LC並列回路における抵抗の役割は、回路の帯域幅に対してダンピング効果を提供することにあります。このダンピング効果により、共振の鋭さが制御され、過度に鋭い共振を抑制することで、より安定した回路動作が実現されます。

重要な点として、並列共振回路のQ値は、直列共振回路のQ値とは異なる関係にあります。具体的には、並列共振回路のQ値は、直列回路のQ値の計算式の逆数として定義されます。これは、Q値が直列回路ではインダクタンスと抵抗の比率で表されるのに対し、並列回路ではこの比率の逆数によって特徴づけられるためです。この違いは、両タイプの回路がエネルギーを処理する方法の根本的な違いから生じます。

共振回路の使用例

ここまで解説した直列や並列の共振回路は、私たちの身のまわりにおいて、実際にどのようなことに応用されているでしょうか。

例えば直列共振回路の応用例には、テレビやラジオの受信回路があります。
直列共振の「特定の周波数において、電流が最大になる」という特性を活かし、受信したい周波数とイコールの周波数を「共振周波数」として持つ回路をあらかじめ作成しておき、目的の周波数では大きな電流を流す、不要な周波数においてはほとんど電流を流さないようにしておく、という具合です。
直列共振回路は、そのほかAC電源フィルター、ノイズフィルターなどにも応用されています。

並列共振の回路の応用例には、マルチバンドアンテナで用いられるトラップ回路や、広帯域増幅回路などが挙げられます。

▼コンデンサやコイルを使用したノイズ対策、EMC対策についてはこちらからお探しいただけます。
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共振をおさえるダンピング抵抗とフェライトビーズ

なお、電子部品の小型化・高集積化が進む昨今において、RLC共振回路を活用するにあたってはノイズ対策が非常に重要となります。そのためには、インダクタを用いた適切なノイズ対策と周波数制御についてしっかりと理解しておく必要があります。

電子回路の中で、意図しない共振回路が含まれている場合、共振周波数に達した際に非常に大きな電流・電圧が発生します。したがって、ノイズ障害が起きやすくなってしまうのです。すなわち、回路から意図しない共振をできるだけ排除することが重要となります。意図しない共振を抑制するためには、ダンピング抵抗が用いられます。

また、フェライトビーズを用いて、ノイズをバイパスし、尚且つ熱に変換するという方法もあります。

▼フェライトビーズの詳細や、インダクタの基本特性とノイズ対策の関係、ローパスフィルタとしての動作などについてはこちらの記事で詳しく解説しています。
https://techweb.rohm.co.jp/know-how/nowisee/8138/

共振回路への理解を深め、電子回路の設計に活用しよう

共振回路とは、特定の周波数で共振現象を示す重要な電子回路のひとつです。これは、多くの電気製品の設計において製品の品質を高めるために利用されています。
電子部品の小型化と高集積化が進むにつれて、ノイズ対策の重要性が増しています。この点において、インダクタを利用したノイズ対策の理解が重要になってきます。RLC共振回路を深く理解することは、インダクタの自己共振やノイズ対策についての知識を深める上で、非常に重要なポイントです。
また、製品設計における共振回路の活用は、ノイズ問題への対応策を考える上でも中心的な回路となります。この記事で解説したん私用や、関連する情報を参考に、共振回路の適切に活用して、電子回路の質を高めましょう。