スギケン先生のモーターライブラリー｜モーターの疑問解説コーナー
～ モーターは電圧を上げるとなぜ回転数が上がる？ ～
2024.11.19
今回の疑問は「モーターは電圧を上げるとなぜ回転数が上がる？」です。もう少し詳しく書くと、モーターの巻線にかける電圧を高く（大きく）すると、それに伴って回転数が上がっていくのはなぜだろう、となります。当たり前の現象のように感じるかもしれませんが、この疑問に対する説明には多くの物理式を使います。モーターのことを知るには打ってつけの疑問なので、ここで解説していきます。
●疑問の内容
今回の疑問は、次のような経験をしたときに感じる疑問です。
回転数が上がったのは単純に、「電池が2個の方が、パワー（電圧？）が2倍になるからだ」とも思いますが、電圧と回転数にどういう関係があるのか考えるとわからなくなってきたので詳しい理由を知りたくなりました。
確かに、電池を2つ直列につなげるとブラシ付きモーターの回転数は上がります。このように電池を直列につなげるとパワーがアップすることは、豆電球で経験している人もいるのではないでしょうか。豆電球は、電池を2つにすると1つのときより明るくなります。なので、モーターの回転数が上がることに違和感はないかもしれません。ですが、実はモーターの種類の中には電圧を上げても回転数が変わらないモーターもあります。例えば、ステッピングモーターやインダクションモーターは回転数が上がらないモーターといえます。なお、回転数が上がるモーターは、ブラシ付きモーターやブラシレスモーターです。これらのモーターの違いは何でしょう。まずはそこから解説していきます。
回転数が変わらないモーターと変わるモーターの違い
電圧を変えた場合に回転数が変わらないモーターと変わるモーターでは、回転磁界の制御方法に違いがあります（※ここでの説明では、制御方法というより制御方針といった方が良いかもしれません。）。
回転数が変わらないモーターは、磁界を回転させる速度を制御して、その磁界にローターをついてこさせるイメージでモーターを回します。このようなモーターの具体的な動作を、下図を使って説明します。この図はステッピングモーターの動作例です。
まず、制御回路によって、図の1の位置に電磁石（巻線磁界）をつくったとします。そうすると、ローターはその電磁石に引っ張られるように回転します。巻線磁界はローターがついてくるのを2の位置で待ちますが、実際についてきたかを確認するわけではなく、「ついてきたかな」というタイミングで電磁石を切り替えて3の位置に磁界を回します。図のように2の段階でローターがついてきていれば、3の状態になるとまた電磁石に引っ張られて回りだします。ステッピングモーターはこの動作を繰り返して回っていきます。なので、モーターの回転数は、磁界を回す速度に依存することになります。
ここで、例えば巻線にかける電圧を高くしたらどうなるか考えてみましょう。その場合、電磁石の磁力が強くなるのでローターが早く追いつくことになります。ただ、ローターが早く追いついても電磁石の磁界が動かなければローターはそれ以上回転しません。よって、電圧が低いときより下図の2や4の状態が長く続くようになるだけで、モーターの回転数はやはり磁界の回転速度によって決まります。
インダクションモーターは上図のような動作とは少し違いますが、磁界を回すことによってローターが遅れながら（すべりながら）ついてくるので、回転磁界の速度がモーターの回転数を決めているといえます。
一方、回転数が変わるモーターは、ローターの位置に合わせて電磁石の磁界を回していきます。これは、ローターがついてきたら磁界が離れていくイメージです。このようなモーターは下図のような動作をします。図は、上の回転数が変わらないモーターと比べられるように2相全波のブラシレスモーターの動作例としています。
図の1の位置にローターがある場合、ブラシレスモーターの制御回路はそのローター位置を把握して電磁石を図の位置につくります。この位置に電磁石をつくることで、ローターが引っ張られて近づいてきます。そして、制御回路はローターが追いついてくる前に2の位置に電磁石磁界を動かします。電磁石磁界がローターから離れるので、ローターは追いかけ続けます。そして、ローターが3の位置のように近づいてきたら、また磁界を動かします。ブラシレスモーターはこの動作を繰り返して回るので、モーターの回転数はローターがついてくる速さに依存することになります。まずこの制御方法が、モーターの回転数が変わる要因の1つです。
さてここで、巻線にかける電圧を高くしたらどうなるかを考えてみたいところですが、これが少し複雑です。イメージだけで簡単にいうと、電圧が高くなって電磁石の磁力が強くなるとローターが追いついてくるスピードが上がるので回転数が上がる、という感じになります。ですが、それだけでは「パワーがアップするから回転数が上がる」と同じ程度の説明となってしまいます。ここではもう少し深く説明をしていこうと思います。
なお、今回の疑問の元であるブラシ付きモーターは、ブラシレスモーターと違って電磁石が回る構造となっています。ただ、電磁石が切り替わる動作などはブラシレスモーターと同じなので、ブラシレスモーターと同様に電圧の変化で回転数が変わります。
モーターの回転数はどう決まるのか？
前述のように、電圧によって回転数が変わるモーターはローターの動きに合わせて回転磁界が変化していくモーターです。この回転磁界の変化は自動で行われることを前提とします。この前提があるため、ここでは単純にローターに働く力とその力がローターの回転数にどう関係してくるかを考えていきます。
それではまず、ローターに働く力（回転力、トルク）がどのように決まってくるかを説明します。一般に、モーターのトルク（\(T\)）は、巻線に流れる電流（\(I\)）に比例するといわれています。下式の\(K_t\)は、トルク定数です。
次に、この巻線に流れる電流がどう決まるか、です。ブラシレスモーターやブラシ付きモーターの巻線に流れる電流は、印加した電圧（\(V_{in}\)）から誘起電圧（\(V_{bemf}\)）と呼ばれる電圧を引いた値と巻線のインピーダンス（\(Z\)）で決まってきます（下式）。この誘起電圧とは、永久磁石が使われているモーターにおいてローターが回転することにより発生する発電の電圧のことで、誘起電圧定数（\(K_e\)）と角速度（\(ω\)）の乗算で計算されます。
（※ここの電流\(I\)は、上記の\(I\)とは厳密には同じとはいえません。また、直流量と交流量の表現も正確でない部分がありますが、ここでは各物理量の関係をイメージしやすい式としてこのように記述することにします。）
これらのことから、ローターに働く回転力（トルク）は、印加した電圧とモーターの回転数が関係して決まってくるものだということがわかります（トルクは電流に比例し、その電流は印加電圧と誘起電圧などから計算され、誘起電圧は角速度（回転数）に比例するので）。
さて、この関係式だけではまだ印加した電圧に対して回転数がどうなるかは説明できません。続いて、このモーターのトルクが回転数とどう関係するかを説明していきます。
まず、物体に働く力（\(F\)）と速度（\(v\)）の関係が下記の2つの式で表されることは、物理の授業などで学んだ人も多いと思います。力と質量（\(m\)）から加速度（\(a\)）が発生し、加速度の積分が速度になるという式です。
これは、回転体でも同じことがいえます。回転力（\(T\)）と角速度（\(ω\)）の関係は、下記の2つの式で表すことができます。回転力（トルク）とイナーシャ（\(J\)）から角加速度（\(α\)）が発生し、角加速度を積分して角速度となります。
モーターの場合、これにプロペラ（ファン）などの負荷が付くと、その負荷を回すために必要な負荷トルク（\(T_L\)）が回転力から引かれます。よってここでは、負荷トルクを含めた下記の2つの式が、モーターの回転力（トルク）と回転数の関係を表す式であるとします。
これで、印加電圧と回転数（角速度）の関係を説明するための式が揃いました。次にこれらの式を使って、回転数がどう決まるかを説明していきます。
まず、回転数が決まるということは回転数（角速度）に変化がない状態になったといえます。この状態は上記の（E）式から、角加速度がゼロになったことを意味します。角速度がゼロとなるのは（D）式から、トルクと負荷トルクが同じ値になっているときです。このトルクを発生させる式は、（A）、（B）、（C）式を合わせた（F）式で示されます。（F）式を見ると、トルクは分子の部分（\(V_{in}\)－\(K_e\)・\(ω\)）で調整されていると理解できます。
これらのことから、例えばある印加電圧を与えられたときのモーターの回転数は、負荷トルクと同じトルクを発生させる回転数になるといえます。そこから印加電圧が変われば、トルクが変わるのでそれに合わせて回転数が変わって、また負荷トルクとトルクが同じ状態に落ち着く、ということがわかります。これが、回転数がどう決まるかの答えになります。
この答えを使って、最初の疑問に戻って電池を2つにしたらなぜ回転数が上がったのかを説明してみようと思います。前提として、プロペラ負荷は回転数の2乗に比例するとし、また\(K_t\)や\(Ke\)、\(Z\)などの定数は1とします。
（F）式において、印加電圧は電池が1つで1.5Vだったとすると、回転数は1.0でトルクと負荷トルクがつり合います。ここから電池が2つになると、印加電圧は3.0Vとなるので、仮に回転数がまだ1.0だったとするとトルクは2.0となって負荷トルクとつり合っていません。トルクの方が大きいのでモーターは加速します（（D）式）。回転数が上がると、トルクは下がり、負荷トルクは上がっていきます。そして、回転数が1.65のときにトルクと負荷トルクがつり合って安定します。
なお、ふと「負荷トルクの定数が0.5とかでなくもっと大きかった場合、回転数が上がると言い切れるのか？」と思うこともあるかもしれませんが、プロペラ負荷の場合はそう言い切れます。印加電圧が上がってトルクが増えると、そのトルクと負荷トルクがつり合うようにするには回転数が上がるしかないからです。
このことは、式をグラフにするとわかりやすいです。グラフは縦軸がトルク、横軸が回転数です。トルクの式は、各定数を置き換えて\(T = -A\omega + BV_{\text{in}}\)とすると右下がりの直線のグラフになります。\(V_{in}\)が変わると平行移動します。負荷トルクの式は定数を\(C\)として\(T_L=C{ω2}\)とすると2次関数のグラフになります。この2つのグラフの交点が、モーターが動作する回転数とトルクです。
印加電圧（\(V_{in}\)）が変わると、交点が移動して回転数（\(ω\)）が変化します。グラフから、印加電圧が上がれば回転数が上がることがわかります（\(\omega_{a1} \rightarrow \omega_{a2}\)、\(\omega_{b1} \rightarrow \omega_{b2}\)）。
以上で、今回の疑問「モーターは電圧を上げるとなぜ回転数が上がる？」の解説を終わります。
まとめると、
・ローターの動きに合わせて回転磁界をつくるモーターは、電圧によって回転数が変化する。
・モーターの回転数は、モーターのトルクと負荷トルクが同じ大きさとなるところで安定する。
・モーターのトルクは印加電圧と回転数が関係するので、電圧が上がれば回転数も上がる。
となります。
【資料ダウンロード】 モーター関連用語集
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